Ci sono 100 lampadine in fila, tutte inizialmente spente. Ogni lampadina ha il suo interruttore. La persona 1 accende tutte le lampadine. La persona 2 cambia lo stato di ogni seconda lampadina (2, 4, 6...). La persona 3 cambia lo stato di ogni terza lampadina (3, 6, 9...). E così via fino alla persona 100.
Qual è lo stato finale della lampadina 64? Quante lampadine rimangono accese alla fine?
Una lampadina viene toccata dalla persona N se N è un divisore del numero della lampadina. Quali numeri hanno un numero dispari di divisori?
La lampadina 64 è accesa. In totale, 10 lampadine rimangono accese.
Ogni lampadina viene cambiata una volta per ogni suo divisore. La maggior parte dei numeri ha un numero pari di divisori (ogni divisore d ha un "partner" n/d). Ma i quadrati perfetti hanno un numero dispari di divisori, perché la radice quadrata è partner di se stessa.
Poiché 64 = 8², ha un numero dispari di divisori, quindi rimane accesa. I 10 quadrati perfetti tra 1 e 100 sono: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.