Due cerchi concentrici formano un anello (corona circolare). Una corda del cerchio esterno è tangente al cerchio interno e ha lunghezza L.
Qual è l'area dell'anello in funzione di L?
76. Area dell'anello concentrico
Suggerimento
Disegna il raggio del cerchio esterno fino al punto di tangenza. Questo forma un triangolo rettangolo con metà della corda.
Risposta
L'area dell'anello è A = π(L/2)² = πL²/4.
Derivazione:
Sia R il raggio esterno e r il raggio interno. L'area dell'anello è:
A = πR² - πr² = π(R² - r²)
La corda del cerchio esterno è tangente al cerchio interno. Il raggio interno al punto di tangenza è perpendicolare alla corda e passa per il centro.
Per il teorema di Pitagora: R² = r² + (L/2)²
Quindi: R² - r² = (L/2)² = L²/4
Area = π(L²/4) = πL²/4
Nota: sorprendentemente, l'area non dipende dai raggi individuali, ma solo dalla lunghezza della corda!