Perché se p è un numero primo maggiore di 3, allora p² - 1 è sempre divisibile per 24?
15. Il quadrato del primo meno uno
Suggerimento
Fattorizza p² - 1 = (p-1)(p+1). Poi dimostra che contiene almeno tre fattori 2 e almeno un fattore 3.
Risposta
Dimostriamo che p² - 1 = (p-1)(p+1) contiene i fattori 2³ × 3 = 24.
Fattori di 2: Poiché p è primo e maggiore di 3, p è dispari. Quindi sia (p-1) che (p+1) sono pari. Inoltre, essendo due numeri pari consecutivi, uno dei due è divisibile per 4. Questo dà tre fattori di 2.
Fattore di 3: Tra tre numeri consecutivi (p-1, p, p+1), esattamente uno è divisibile per 3. Poiché p è primo e maggiore di 3, p non è divisibile per 3. Quindi (p-1) o (p+1) deve essere divisibile per 3.
Combinando: p² - 1 contiene almeno 2³ × 3 = 24 come fattore.