Quanti zeri consecutivi ci sono alla fine di 100! (100 fattoriale)?
Come cambierebbe la risposta se il problema fosse in base 5? E in binario?
19. Gli zeri finali nel fattoriale
Suggerimento
Gli zeri finali in base 10 derivano dai fattori di 10, cioè 2×5. Quale dei due fattori è più raro?
Risposta
In base 10: Ci sono 24 zeri finali. Gli zeri finali provengono dai fattori di 10 = 2×5. Poiché i fattori di 5 sono meno frequenti di quelli di 2, contiamo i 5: floor(100/5) + floor(100/25) + floor(100/125) = 20 + 4 + 0 = 24.
In base 5: Anche qui 24 zeri. In base 5, gli zeri finali derivano solo dai multipli di 5.
In binario: 97 zeri finali. Contiamo i fattori di 2: floor(100/2) + floor(100/4) + floor(100/8) + floor(100/16) + floor(100/32) + floor(100/64) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.